Задачи устного вступительного экзамена по математике (2000 г.)
Экзамен в 11-й класс
I вариант
Сколько касательных можно провести к графику функции у = х3 из точки (12; 0)?
Через точку пересечения диагоналей трапеции с основаниями 3 и 5 проведена прямая, параллельная основаниям. Найти длину отрезка этой прямой, соединяющего боковые стороны трапеции.
Найти наибольшую степень двойки, на которую при любом нечетном а делится число а12 - а8 - а4 + 1?
Вычислить coscoscos.
Три футбольные команды сыграли друг с другом по одинаковому числу матчей. Могло ли так случиться, что команда, набравшая наибольшую сумму очков, выиграла наименьшее количество матчей, и наоборот? (Выигрыш - 2 очка, проигрыш - 0 очков, ничья - 1 очко.)
II вариант
Сколько касательных можно провести к графику функции у = a3 из точки (14; 0)?
Через точку пересечения диагоналей трапеции с основаниями 2 и 3 проведена прямая, параллельная основаниям. Найти длину отрезка этой прямой, соединяющего боковые стороны трапеции.
Найти наибольшую степень двойки, на которую при любом нечетном а делится число а10 - а8 - а2 Ч- I?
Вычислить cos Е cos ^L cos 5^-.
Три футбольные команды сыграли друг с другом по одинаковому числу матчей. Могло ли так случиться, что команда, набравшая наибольшую сумму очков, выиграла наименьшее количество матчей, и наоборот? (Выигрыш - 2 очка, проигрыш - 0 очков, ничья - 1 очко.)
III вариант
Числа x2, y2, z2 образуют арифметическую прогрессию. В каком порядке образуют арифметическую прогрессию числа , , ?
На сторонах АВ и ВС треугольника ABC соответственно взяты такие точки М и N, что AM : MB = 3 : 19 и BN : NC = 13 : 2. Отрезки AN и CM пересекаются в точке О. Какой из треугольников имеет большую площадь: АМО или CNO?
Последняя цифра натурального числа а, кратного 3, равна 8. Доказать, что число а2 - 6а - 216 делится на 1800.
Вычислить cos+cos+cos.
Доказать, что если а, b, c - стороны треугольника, то a4 + b4 + c4 < 2(a2b2 + a2c2 + b2c2).
Экзамен в 10-й класс
I вариант
Ученик написал пример на умножение, а затем заменил все цифры буквами: одинаковые цифры одинаковыми буквами, а разные - разными. Получилось равенство. Не ошибся ли ученик?
Вычислить sin5x + cos5x, если sin х + cos x = .
Сколько корней имеет уравнение ?
Какую наибольшую высоту может иметь треугольник со сторонами а £ 5, b £ 4, с £ 2?
Числа 1, 2, :, n, последовательно записанные на доске по кругу, стирают через одного, начиная с числа 2. Какое число останется последним, если п = 40? Что можно сказать об этом числе для произвольного четного n?
II вариант
Числа x, y, z образуют арифметическую прогрессию. В каком порядке образуют арифметическую прогрессию числа x2 + 5xy + y2, y2 +5yz + z2, 2x2 + 3xz + 2z2?
Вычислить tg3х - ctg3х, если tg x - ctg х = 2.
Стороны АВ и CD четырехугольника ABCD параллельны, причем АВ + AD = ВС + СD. Следует ли отсюда, что AD = BC?
Десятичная запись числа состоит только из двоек и нулей. Может ли оно быть полным квадратом?
Доказать, что если а, b, с - стороны треугольника, то a4 + b4 + c4 < 2(a2b2 + a2c2 + b2c2).
III вариант
Для данных натуральных чисел m ¹ n и арифметической прогрессии a1, a2, : известно, что am = n и аn = m. Найти аm+n .
Дано простое число p > 3. Решить в натуральных числах уравнение 12p + х2 = у2.
Найти площадь выпуклого четырехугольника, если площадь треугольника с вершинами в серединах трех сторон этого четырехугольника равна 15.
По статистике в одном портовом городе 90% населения умеет изъясняться по-английски, 85% - по-немецки, 80% - по-французски и 75% - по-испански. Какой наибольший и наименьший процент населения при этих данных может изъясняться на всех четырех языках сразу?
Три футбольные команды сыграли друг с другом по одинаковому числу матчей. Могло ли так случиться, что команда, набравшая наибольшую сумму очков, выиграла наименьшее количество матчей, и наоборот? (Выигрыш - 2 очка, проигрыш - 0 очков, ничья - 1 очко.)
IV вариант
Для данных натуральных чисел m ¹ n и арифметической прогрессии a1, a2, : известно, что am = - n и аn = - m. Найти аm+n .
Дано простое число p > 5. Решить в натуральных числах уравнение x2 = у2 + 20p.
Найти площадь выпуклого четырехугольника с вершинами в серединах сторон другого четырехугольника, имеющего площадь 40.
По статистике в одном портовом городе 85% населения умеет изъясняться по-английски, 80% - по-немецки, 75% - по-французски и 70% - по-испански. Какой наибольший и наименьший процент населения при этих данных может изъясняться на всех четырех языках сразу?
Три футбольные команды сыграли друг с другом по одинаковому числу матчей. Могло ли так случиться, что команда, набравшая наибольшую сумму очков, выиграла наименьшее количество матчей, и наоборот? (Выигрыш - 2 очка, проигрыш - 0 очков, ничья - 1 очко.)
Экзамен в химический класс
Найти отношение (а + 2b - с) : (2а + 3с), если а : b : с = 2 : 3 : 5.
По статистике в одном портовом городе 90 % населения умеет изъясняться по-английски, 80 % - по-немецки и 70 % - по-французски. Какой наибольший и наименьший процент населения при этих данных может изъясняться на всех трех языках сразу?
Сумма m первых членов арифметической прогрессии оказалась равной сумме n первых ее членов (n ¹ m). Найти сумму m + n первых членов этой прогрессии.
Морская вода содержит 5% соли (по массе). Сколько чистой воды нужно добавить к 30кг морской воды, чтобы содержание соли стало равно 1,5%?
Три футбольные команды сыграли друг с другом по одинаковому числу матчей. Могло ли так случиться, что команда, набравшая наибольшую сумму очков, не выиграла ни одного матча? (Выигрыш - 2 очка, проигрыш - 0 очков, ничья - 1 очко.)
cos
cos
.
, 
, 
?
+cos
+cos
.
.
?