Вступительное задание заочного тура в Школу А.Н.Колмогорова на 2001-2002 учебный год
Вступительное задание для поступающих в 10 класс
Математика
1. Какой угол образуют стрелки правильно идущих часов в 8 часов 20 минут?
2. Сторона квадрата АВCD равна 1. Точки K, L и М - середины сторон АВ, ВС и CD соответственно. Найдите площадь фигуры, выделенной на рисунке.
3. Найдите a3 + b3 + c3, если a + b + c = 0, a abc = 1.
4. В треугольнике ABC расстояние от вершины А до точки пересечения высот равно радиусу описанной окружности. Найдите все возможные значения величины угла A.
5. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения x + 2y, если х2 - ху + у2 = 4.
Физика
1. Если соединить две пружины последовательно, то для их растяжения на 1см потребуется приложить силу 1Н. Если те же пружины соединить параллельно, то для растяжения на 1см потребуется сила 5Н. Какие силы нужно приложить к каждой пружине в отдельности, чтобы растянуть ее на 1см? (Обе пружины подчиняются закону Гука.)
2. С какой бы высоты Н ни падал без начальной скорости упругий мяч на неподвижную горизонтальную жесткую поверхность, после кратковременного удара он отскакивает и поднимается на высоту Н/2. С какой постоянной скоростью должна двигаться навстречу мячу эта поверхность, чтобы после удара он поднялся на ту же высоту, с которой падал? (Трением о воздух можно пренебречь.)
3. В пластиковую бутылку, заполненную наполовину теплой водой, бросили кубик льда массой 1г с температурой 0° С, закрутили крышку и хорошенько взболтали воду. Температура воды уменьшилась на D T. Затем с этой бутылкой вновь проделали ту же операцию, и температура уменьшилась еще на 0,99D T. Какой емкости была бутылка? Теплоемкостью стенок бутылки можно пренебречь.
4. Каким должен быть радиус шарообразного геостационарного спутника, чтобы полная тень от него на Земле имела диаметр 1км? С какой минимальной скоростью движется эта тень по поверхности Земли?
5. Если потереть о сухую газету резиновую оболочку надутого воздушного шарика, он приобретает электрический заряд. Поднесенный к потолку, такой шарик может часами висеть под потолком. Проведите этот эксперимент и оцените электрический заряд, приобретенный шариком.
Химия (Для поступающих на химико-биологическое отделение)
1. Галогенид некоторого металла содержит 51% металла (по массе). Определите металл и галоген, образующие данную соль.
2. Сколько граммов кристаллогидрата MgSO4*7Н2О необходимо добавить к 100 мл 5%-го раствора сульфата магния (плотность 1,03г/мл), чтобы получить 10%-и раствор сульфата магния?
Вступительное задание для поступающих в 11 класс
Математика
1. Найдите a4 + b4 + c4, если a2 + b2 + c2 = 1, a + b + c = 0.
2. Решите уравнение x4 - 2х2 - 400x = 9999.
3. Через точку М, расположенную внутри треугольника ABC, проведены 3 прямые, параллельные сторонам треугольника. Отрезки прямых, заключенные внутри треугольника, равны между собой. Найдите длины этих отрезков, если стороны треугольника равны a, b и c.
4. Найдите наибольшее значение выражения x2 - ху + у2, если 2х2 + 3ху + у2 = 2.
5. Пусть AM и BN - медианы треугольника ABC, O - точка их пересечения Найдите AB, если известно, что ВС = а, АС = b, а точки М, N, С и О лежат на одной окружности.
Физика
1. При массовой выброске парашютистов-десантников их одинаковые парашюты открывались сразу же после выхода человека из самолета. Выброска происходила с высоты 1км в безветренную погоду. Время спуска самого тяжелого десантника (120кг вместе с парашютом) - 130с, а самого легкого (60кг) - 184с. За какое время спустился десантник массой 90кг?
2. Изобретен прочный проводящий материал с нулевой плотностью. Из него изготовлены тросы, удерживающие на орбите на высоте 60тыс.км от центра Земли спутник "А", вращающийся с периодом, равным земным суткам. Такие тросы используются для подъема и запуска геостационарных спутников Земли. Какой массой должен обладать спутник "А", чтобы можно было по тросам поднимать на геостационарную орбиту спутники массой 100кг (по одному такому спутнику за одни сутки)? Электроэнергия для подъема спутника подается по проводящим тросам.
3. В парилке бани при температуре 100°С и нормальном атмосферном давлении влажность воздуха составляет 1% (очень сухая парилка). Сколько столкновений молекул воды происходит в каждом кубическом сантиметре воздуха за одну секунду?
4. У вас есть батарейка с ЭДС 1В и два незаряженных конденсатора с емкостями 2мкФ и 3мкФ. Какую максимальную разность потенциалов можно получить с помощью этих предметов и как это сделать?
5. В вашем школьном кабинете физики (или дома) имеется подковообразный магнит. Измерьте индукцию магнитного поля между его полюсами. Опишите все этапы проведенного вами эксперимента.
