Вступительное задание заочного тура в Школу А.Н.Колмогорова на 2002-2003 учебный год
Вступительное задание для поступающих в 10 класс
Математика
1. Найдите:
если
2. В прямоугольном треугольнике ABC с катетами АС = 6 и ВС = 8 проведена медиана СМ. Найдите расстояние между центрами окружностей, вписанных в треугольники АСМ и ВСМ.
3. Найдите все пары простых чисел р и q, для которых p2 - 6q2 = 1.
4. Через точку А, находящуюся вне окружности на расстоянии 7 от ее центра, проведена прямая, пересекающая окружность в точках В и С. Найдите радиус окружности, если АВ = 3, ВС = 5.
5. Какое максимальное количество натуральных чисел от 1 до 50 можно выбрать так, чтобы среди них не было двух чисел, отличающихся ровно в 3 раза?
Физика
1. Материальная точка движется из начала координат вдоль оси X по закону x(t) = At - Bt2, где А и В - положительные постоянные Найдите координату точки, в которой ее скорость равна нулю.
2. Тело массой m находится на наклонной плоскости, образующей угол α с горизонтом (рис.1). К телу приложена сила F, направленная горизонтально. Чему должна быть равна величина этой силы, чтобы тело равномерно поднималось по наклонной плоскости вверх? Коэффициент трения между телом и плоскостью μ.
3. Определите силу натяжения нити, связывающей два шарика объемом 8 см3 каждый, если верхний шарик плавает, наполовину погрузившись в воду (рис.2) Нижний шарик в 3 раза тяжелее верхнего. Принять g = 10 м/c2, ρ = 1 г/см3.
4. Два автомобиля имеют двигатели одинаковой мощности. Максимальные скорости движения автомобилей равны, соответственно, v1 = 80 км/ч и v2 = 120 км/ч. Какую максимальную скорость смогут развивать автомобили, если первый автомобиль возьмет на буксир второй (с выключенным мотором)? Считать силу сопротивления независящей от скорости.
5. При свободном падении тела из состояния покоя средняя скорость его движения за последнюю секунду оказалась в n = 2 раза больше, чем в предыдущую. Определите высоту, с которой падало тело. Ускорение свободного падения g = 10 м/c2.
Химия Для поступающих на химическое отделение
1. На чашках весов уравновешены химические стаканы с 0,1 г металлического алюминия в каждом. Как изменится равновесие весов, если в один стакан долить 20 г 5%-го раствора соляной кислоты, а в другой - 20 г 5%-го раствора гидроксида натрия? Как изменится ответ, если вместо алюминия взять а) цинк; б) кальций? Напишите уравнения реакций.
2. Неустойчивая неорганическая кислота содержит водород, кислород и серу. Массовая доля серы в кислоте 56,14%. Определите формулу кислоты.
Вступительное задание для поступающих в 11 класс
Математика
1. Решите систему уравнений
2. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС проведена биссектриса CD. На прямой АС взята точка Е так, что угол EDC равен 90°. Найдите СЕ, если AD = a.
3. Найдите все пары целых чисел (x, у), удовлетворяющих уравнению
3xy - 5 = x2 + 2y.
4. Сколько существует различных окружностей, проходящих через всевозможные тройки вершин куба?
5. Груз массой 36 т. упакован в невесомые ящики. Масса груза в каждом ящике не превышает 1 т. Какое наименьшее количество четырех-тонных грузовиков понадобится, чтобы наверняка можно было увезти этот груз (грузовики запрещается перегружать!)?
Физика
1. Тело, брошенное под углом α = 45° к горизонту, через время t1 = 2 с после начала движения имело вертикальную проекцию скорости, равную vy = 10 м/с. Определите дальность полета тела. Принять g = 10 м/c2.
2. Два прямоугольных бруска, массы которых равны, движутся по наклонной плоскости с углом наклона μ одно за другим, касаясь друг друга. Коэффициент трения для нижнего тела μ1, для верхнего μ2 (μ1 > μ2). Найдите ускорение, с которым движутся тела.
3. Определите работу, совершенную одним молем идеального газа в цикле, указанном на рV-диаграмме (рис.3), если температура газа и состояниях 1 и 2 равна T1 и T2 соответственно.
4. Электрон, начальная скорость которого была v0 = 2 · 106 м/с, влетел в однородное электро-статическое поле с напряженностью Е = 9 · 104 В/м так, что вектор начальной скорости перпендикулярен линиям напряженности. Определите, во сколько раз увеличится кинетическая энергия электрона за время t = 1 · 10-10 с. Считать e/m = 1,76 · 10-11 Кл/кг.
5. Два резистора r и R подключены к источнику постоянного напряжения так, как показано на рис.4. При замыкании ключа K мощность, выделяемая на резисторе R, увеличивается в 2 раза. Чему равно сопротивление резистора r, если сопротивление резистора R равно 10 Ом? Внутренним сопротивлением источника пренебречь.
