Вступительное задание заочного тура в Школу А.Н.Колмогорова на 2004-2005 учебный год
Математика
Для поступающих в 10 класс
1. Решите уравнение
2. В трапеции ABCD на основаниях AD = 12 и BC = 8 взяты точки E и F соответственно. Найдите EF, если AE = 5, BF = 3, .
3. Найдите сумму цифр всех десятизначных чисел.
4. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA1, BB1, CC1. Периметр треугольника A1B1C1 равен P. Найдите площадь треугольника ABC, если радиус окружности, описанной около этого треугольника, равен R.
5. Найдите наименьшее значение выражения
.
Для поступающих в 11 класс
1. Решите систему уравнений
2. Пусть H - ортоцентр (точка пересечения высот) треугольника ABC, причем CH = AB = 1. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника AHC.
3. Найдите сумму цифр в десятичной записи всех натуральных чисел от 1 до 10n.
4. В трапеции ABCD (AD || BC) точки K и L лежат на сторонах AB и CD соответственно, причем BK/KA = DL/LC = 1/3. В каком отношении делит площадь трапеции прямая KL, если AD = 2BC?
5. Найдите наименьшее значение выражения
.
Физика (физико-математическое отделение)
Для поступающих в 10 класс
1. Пассажир, опоздавший на поезд, увидел, что предпоследний вагон прошел мимо него за интервал времени t1 = 10 с, а последний - за интервал времени t2 = 8 с. Найдите интервал между моментами времени отправления поезда и выходом пассажира на перрон.
2. Веревка выдерживает груз массой не более m1 = 100 кг, если груз неподвижен. На этой веревке поднимают груз массой m2 = 50 кг. Найдите предельную высоту H, на которую можно поднять груз с постоянным ускорением за интервал времени t = 2 с.
3. Однородный стержень изогнут в форме прямого угла AOB со сторонами AO = a, BO = b, (b > a). Найдите расстояние ОС от вершины угла до центра тяжести стержня.
4. В цилиндрическом сосуде плавает плитка пенопласта, на которой лежит кубик. Когда кубик сняли, уровень воды понизился на h1 = 15 см. Затем кубик опустили в воду. Уровень воды поднялся на h2 = 5 см. Найдите плотность материала кубика r.
5. Колодец должен иметь глубину H = 5 м. Найдите глубину колодца h, если была выполнена работа, равная 1/4 всей необходимой наименьшей работы.
Для поступающих в 11 класс
1. Автомобиль начинает двигаться из состояния покоя. Первую половину пути он движется с постоянным ускорением. На втором участке пути он движется с постоянной скоростью v = 18 м/с, которой достиг в конце первого участка. Найдите среднюю скорость автомобиля vср.
2. На рис. 1 изображены графики двух процессов a®b и a®c в координатах давление-объем. Точки b и c лежат на изотерме. Найдите отношение работ A'ac/A'ab , совершаемых газом в процессах a®c и a®b.
3. В камере объемом V1 = 1 м3 находятся влажный воздух при давлении p1 = 3pатм , pатм = 105 Па и вода, объем которой значительно меньше V1. После изотермического увеличения объема в два раза относительная влажность стала равной j = 80%, давление в камере p2 = 1,8 pатм . Найдите температуру камеры T1.
4. Частица находится на прямой, проходящей через центр тонкого кольца, перпендикулярно плоскости кольца, q1 = -Q, m - заряд и масса частицы. По кольцу массы m равномерно распределен заряд q2=Q. В начальном положении частица находилась на расстоянии от центра кольца. Найдите величину относительной скорости v0 в момент прохождения частицей центра кольца.
5. В схеме, приведенной на рис. 2, четыре резистора имеют равные сопротивления. Разность потенциалов ja - jb = 10 В, резистор R1 потребляет мощность P1 = 18 Вт. Найдите мощность на резисторе R4.
Химия
Для поступающих на химико-биологическое отделение
1. При рентгеновском исследовании желудка и пищевода пациент выпивает 1 - 2 стакана водной взвеси "нерастворимого" сернокислого бария. Известно, что насыщенный раствор BaSO4 содержит 0,00001 моль соли в литре. Сколько штук "молекул" сульфата бария содержится в 1 мл такого раствора? Сколько граммов сульфата бария растворено в 1 мл?
2. При переработке медной руды – халькопирита CuFeS2 ее обжигают, и сера превращается в оксид серы (IV). Этот оксид серы на 90% улавливается заводскими фильтрами. Красноуральский медеплавильный комбинат выбрасывает в год в атмосферу 64 тысячи тонн оксида серы (IV). Напишите уравнение реакции обжига халькопирита (в кислороде). Сколько тонн меди может производить этот комбинат в год?
Какое еще соединение серы может образовываться при обжиге и почему?
.
.
.
между моментами времени отправления поезда и выходом пассажира на перрон.
от центра кольца. Найдите величину относительной скорости v0 в момент прохождения частицей центра кольца.